贡献者： 零穹
1. 量类
现象、物体或物质可定性区别并能定量测量的属性称为物理量（简称量）。量的具体意义指大小、轻重、长短等概念，并不是所有的量都可以相互比较，比如表示长短的量和表示大小的量不能相互比较，但表示同一具体意义的量之间可以相互比较。
我们把可以相互比较的量称为同类量，比较的结果是一个数。以粗体字母表示量，如 $\boldsymbol{A}$，细体字母表示数，如 $A$。若量 $\boldsymbol{A_1}$ 和量 $\boldsymbol{A_2}$ 可相互比较，则称量 $\boldsymbol{A_1}$ 和 $\boldsymbol{A_2}$ 同类。对于所有量构成的集合 $\mathcal{M}$，其上的同类关系显然为一等价关系，由该等价关系确定的等价类称为量类。对任一量 $\boldsymbol{Q}$，与它同类的所有量构成的集合称为 $\boldsymbol{Q}$ 的量类，记作 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$。显然 $\boldsymbol{Q}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的元素，可记作 $\boldsymbol{Q}\in \tilde{\boldsymbol{Q}}$，每个 $\boldsymbol{Q}$ 可称为 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的量值。例如，所有长度量的集合称为长度量类（记作 $\tilde{\boldsymbol{l}}$）。类似的，还有质量量类$\tilde{\boldsymbol{m}}$、时间量类$\tilde{\boldsymbol{t}}$、速度量类$\tilde{\boldsymbol{v}}$ 等。
设 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$ 是同类量，将 $\boldsymbol{Q_2}$ 和 $\boldsymbol{Q_1}$ 进行比较得数为 $Q$，也称用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数 $Q$，记作
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_2}=Q\boldsymbol{Q_1}~.
\end{equation}
等式式 1 称为 同类量等式。
定义 1
若 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$ 满足同类量等式式 1 ，则称
\begin{equation}
\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=Q~
\end{equation}
为同类量 $\boldsymbol{Q_2}$ 与 $\boldsymbol{Q_1}$ 的商。
2. 单位
在量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 中任选一个非零元素（即该元素测量其它非零元素得数不为 0）$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量其它元素，就可把每一个元素映射到一个实数，这个 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 称为单位。
设用 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q$，即
\begin{equation}
\boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}}~,
\end{equation}
如果改用另一单位 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$，得数为 $Q'$，即
\begin{equation}
\boldsymbol{Q}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}}~.
\end{equation}
为由式 3 和式 4 推得 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 的关系，需要用到如下的测量公理。
测量公理：对同类量 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$、$\boldsymbol{Q_3}$，若用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\alpha$，用 $\boldsymbol{Q_2}$ 测量 $\boldsymbol{Q_3}$ 得数为 $\beta$，则用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_3}$ 得数为 $\alpha\beta$。即若
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_2}=\alpha\boldsymbol{Q_1}~,\quad \boldsymbol{Q_3}=\beta\boldsymbol{Q_2}\quad\Rightarrow \quad\boldsymbol{Q_3}=(\alpha\beta)\boldsymbol{Q_1}~.
\end{equation}
定理 1
$\alpha \boldsymbol{Q}$ 是一个与 $\boldsymbol{Q}$ 同类的量，并且
\begin{equation}
\alpha \left(\beta \boldsymbol{Q} \right) = \left(\alpha\beta \right) \boldsymbol Q~.
\end{equation}
证明：因为 $\alpha\boldsymbol{Q}=\alpha\boldsymbol{Q}$，即用 $\boldsymbol{Q}$ 测量 $\alpha\boldsymbol{Q}$ 得数 $\alpha$，这表明 $\alpha\boldsymbol{Q}$ 与 $\boldsymbol{Q}$ 同类。
因为
\begin{equation}
\alpha(\beta\boldsymbol{Q})=\alpha(\beta\boldsymbol{Q})~,\quad \beta\boldsymbol{Q}~.=\beta\boldsymbol{Q}
\end{equation}
由测量公理式 5 ，即得式 6 ，定理得证。
有了测量公理，便可讨论 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 的关系。由商的定义式 2 ，可知 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 得数为 $\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}$，又 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q'$，所以由测量公理，$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q'\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}$，又由式 3 ，得
\begin{equation}
Q'\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}=Q~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}=\frac{Q}{Q'}~.
\end{equation}
定理 1 和式 9 是由测量公理得出的，结合二者，我们得到下面的定理。
定理 2
$\boldsymbol{Q}$ 与任选单位无关。即任意 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$，且 $\boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}},\boldsymbol{Q}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}}$，则
\begin{equation}
Q\hat{\boldsymbol{Q}}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}}~.
\end{equation}
证明：由商的定义式 2 ，式 9 可写成
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{Q'}}=\frac{Q}{Q'}\hat{\boldsymbol{Q}}~,
\end{equation}
两边作用一个 $Q'$，并由定理 1 ，即得式 10 。定理得证。
同样的，我们可以得到下面的定理。
定理 3
对量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的两个元素 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$，若
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_1}=Q_1\hat{\boldsymbol{Q}}~,\quad \boldsymbol{Q_2}=Q_2\hat{\boldsymbol{Q}}~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2}{Q_1}~.
\end{equation}
证明：由商的定义式 2 ，$\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$，由式 12 第一式，$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $Q_1$，由测量公理，$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q_1\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$，又由式 12 第二式，便有
\begin{equation}
Q_1\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=Q_2~.
\end{equation}
式 14 即是式 13 等价形式，定理得证。
当 $Q_2>Q_1$ 时，我们说量 $\boldsymbol{Q_2}$ 大于量 $\boldsymbol{Q_1}$，并记作 $\boldsymbol{Q_2}>\boldsymbol{Q_1}$。如此，式 9 就可表达为：用不同单位测量同一量时，单位越大得数越小。
例 1
若 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$ 同类，试证明以下式子
\begin{equation}
\frac{Q_2\boldsymbol{Q_2}}{Q_1\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2}{Q_1}\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}~.
\end{equation}
证明： 显然，用量 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $Q_1\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $Q_1$，用量 $\boldsymbol{Q_2}$ 测量 $Q_2\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q_2$，即
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_1\boldsymbol{Q_1}=Q_1\boldsymbol{Q_1}~,\\
Q_2\boldsymbol{Q_2}=Q_2\boldsymbol{Q_2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
而用量 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$。所以，由测量公理，下式成立
\begin{equation}
Q_2\boldsymbol{Q_2}= \left(Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \right) \boldsymbol{Q_1}~,
\end{equation}
比较式 16 第一式和式 17 ，由定理 3 得：
\begin{equation}
\frac{Q_2\boldsymbol{Q_2}}{Q_1\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}}{Q_1}=\frac{Q_2}{Q_1}\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}~.
\end{equation}
得证。
例 2
若 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$ 同类，试证明
\begin{equation}
\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{{Q_1}}}=\frac{1}{\frac{\boldsymbol{Q_1}}{\boldsymbol{Q_2}}}~.
\end{equation}
证明：由例 1 中式 16 第一式和式 17 ，根据定理 3 有
\begin{equation}
\frac{Q_1\boldsymbol{Q_1}}{Q_2\boldsymbol{Q_2}}=\frac{Q_1\boldsymbol{Q_1}}{ \left(Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \right) \boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_1}{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}}~.
\end{equation}
由式 15 ，上式可化为
\begin{equation}
\frac{Q_1}{Q_2}\frac{\boldsymbol{Q_1}}{\boldsymbol{Q_2}}=\frac{Q_1}{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}}~.
\end{equation}
上式两边可约去数 $Q_1/Q_2$，便得待证式 19 .
式 19 说明，$\boldsymbol{Q_1}$ 测 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数与 $\boldsymbol{Q_2}$ 测 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数互为倒数，于是得下面定理。
定理 4
对量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的两个元素 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$，若 $\boldsymbol{Q_1}$ 测 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q$，则 $\boldsymbol{Q_2}$ 测 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $1/Q$，即
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_2}=Q\boldsymbol{Q_1}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{Q_1}=\frac{1}{Q}\boldsymbol{Q_2}~.
\end{equation}
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